Задание 53AB87: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(7⁷)⁻³ = 7⁻²¹.
(7⁻²³)⁻¹ = 7²³.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 7: −21 + 23 = 2.
После сокращения получаем 7².
7² = 49.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 27368747340080916343, знаменатель — 558545864083284007. Их отношение: 27368747340080916343558545864083284007 = 49.
Получено то же значение 49. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 49.