Задание 43783E: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
8 = 2³.
40 = 2³ · 5.
(40⁹)⁻¹ = 40⁻⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 33 − 27 = 6.
Для основания 5: 9 − 9 = 0.
После сокращения получаем 2⁶.
2⁶ = 64.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 16777216000000000, знаменатель — 262144000000000. Их отношение: 16777216000000000262144000000000 = 64.
Получено то же значение 64. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 64.