Задание 0F0437: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2; b = √2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁴)⁴ = b¹⁶.
((a · b)¹⁶)⁻¹ = (a · b)⁻¹⁶.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 21 − 16 = 5.
Для основания b: 16 − 16 = 0.
После сокращения получаем a⁵. Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 2⁵ = 32.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 536870912, знаменатель — 16777216. Их отношение: 53687091216777216 = 32.
Получено то же значение 32. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 32.