Задание 471D3F: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
4 = 2².
44 = 2² · 11.
(44⁸)⁻¹ = 44⁻⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 11: 10 − 8 = 2.
Для основания 2: 16 − 16 = 0.
После сокращения получаем 11².
11² = 121.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1699835058651136, знаменатель — 14048223625216. Их отношение: 169983505865113614048223625216 = 121.
Получено то же значение 121. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 121.