Задание 3D2308: Законы сохранения

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем.
Пулю и небольшое тело считаем материальными точками. В момент удара ось Ox направим горизонтально по полёту пули, Oy — вверх. На систему действуют внешние силы тяжести и вертикальная реакция полусферы. Контактные силы пули и тела внутренние. За короткий удар смещение пренебрежимо мало; горизонтальный импульс сохраняется:
mv₀=(M+m)u,
u=mv₀M+m.
Пуля застревает, поэтому энергия при ударе не сохраняется. После удара составное тело массой M+m скользит без трения; на него действуют тяжесть (M+m)g и нормальная реакция N наружу от центра сферы.
Для дальнейшего движения выбираем Or к центру, Os по касательной вниз. При угле θ радиуса с верхней вертикалью второй закон Ньютона:
Or: (M+m)g cosθ−N=(M+m)v²R;
Os: (M+m)g sinθ=(M+m)a_s.
При отрыве N=0, а cosθ=hR, поэтому v²=gh. На участке скольжения нормальная реакция не совершает работы, энергия сохраняется:
u²2+gR=v²2+gh.
Исключаем v²:
u²+2gR=3gh,
h=2gR+u²3g.
Подстановка данных:
u=0,010 кг·200 м·с⁻¹0,99 кг+0,010 кг=2 м·с⁻¹,
h=2·10 м·с⁻²·1 м+(2 м·с⁻¹)²3·10 м·с⁻²=0,80 м.
Проверка: сразу после удара N=(M+m)(g−u²·1R)=6 Н>0, немедленного отрыва нет. На высоте 0,80 м v²=u²+2g(R−h)=8 м²·с⁻²=gh, и реакция действительно обращается в нуль.

Ответ: h=0,80 м.