Задание 338EF9: Законы сохранения

Дано: угол броска α и время τ от столкновения до падения слипшихся шариков на землю. Найти v₀.

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. Начало координат — точка броска первого шарика; ось Ox горизонтальна по броску, Oy направлена вверх. Массу каждого шарика обозначим m. До удара на каждый действует только mg вниз; после удара на составное тело действует 2mg. Поэтому aₓ=0, aᵧ=−g. Во время короткого удара внешним импульсом тяжести пренебрегаем, а внутренние силы взаимно компенсируются. Импульс сохраняется именно при столкновении.
Пусть t₁ — время от броска до столкновения. До удара:
v₁ᵧ=v₀ sinα−gt₁; v₂ᵧ=−gt₁.
После удара вертикальная скорость по условию нулевая. Закон сохранения вертикального импульса даёт:
m(v₀ sinα−gt₁)+m(−gt₁)=0.
Отсюда v₀ sinα=2gt₁; t₁=v₀ sinα2g.
Высота столкновения равна высоте первого шарика:
h=v₀ sinα·t₁−gt₁²2.
Подстановка выражения t₁:
h=v₀²sin²α2g−v₀²sin²α8g=3v₀²sin²α8g.
Пусть τ — время от удара до земли. При нулевой начальной вертикальной скорости h=gτ²2. Поэтому:
τ²=2hg=3v₀²sin²α4g²; τ=√3·v₀ sinα2g.
Принимаем 0<α<90°, v₀>0, τ>0.
Выражаем искомую начальную скорость из последнего равенства:
v₀=2gτ√3·sinα.
Числовые значения в условии не заданы, поэтому ответ остаётся формулой. Её размерность: ускорение, умноженное на время, даёт скорость.
Проверка обратной подстановкой:
t₁=τ√3; h=3g t₁²2=gτ²2.
Следовательно, после удара время падения действительно равно τ. В момент столкновения v₁ᵧ=gt₁ и v₂ᵧ=−gt₁, так что вертикальный импульс равен нулю.

Ответ: v₀=2gτ√3·sinα.