Задание 230AA3: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
9 = 3².
(a⁹)⁻¹ = a⁻⁹.
Для основания 3: 2 = 2.
Для основания a: 19 − 9 = 10.
Подкоренное выражение равно 9 · a¹⁰.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
9 · a¹⁰ = (3 · a⁵)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |3 · a⁵|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
3 · 2⁵ = 96.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 4718592, знаменатель — 512. Их отношение: 4718592512 = 9216.
Получено 9216. Квадрат найденного неотрицательного числа: 96² = 9216. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 96.

Ответ: 96.