Задание D5C7AD: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
22 = 2 · 11.
(22⁷)⁻¹ = 22⁻⁷.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 11: 7 − 7 = 0.
Для основания 2: 10 − 7 = 3.
После сокращения получаем 2³.
2³ = 8.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 19954863104, знаменатель — 2494357888. Их отношение: 199548631042494357888 = 8.
Получено то же значение 8. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 8.