Задание 1B7BF7: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2; b = √2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(b⁵)⁴ = b²⁰.
((a · b)²⁰)⁻¹ = (a · b)⁻²⁰.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 23 − 20 = 3.
Для основания b: 20 − 20 = 0.
После сокращения получаем a³. Множитель с основанием b сокращается полностью: b⁰ = 1 при b ≠ 0.
При подстановке: 2³ = 8.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 8589934592, знаменатель — 1073741824. Их отношение: 85899345921073741824 = 8.
Получено то же значение 8. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 8.