Задание B213FA: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁹)³ = a²⁷.
(a²⁹)⁻¹ = a⁻²⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 27 + 7 − 29 = 5.
После сокращения получаем a⁵.
При подстановке: 2⁵ = 32.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 17179869184, знаменатель — 536870912. Их отношение: 17179869184536870912 = 32.
Получено то же значение 32. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 32.