Задание 0EA255: Законы сохранения

Дано: M=0,230 кг, l=0,50 м, v₀=120 м·с⁻¹ — минимальная скорость для полного оборота. Найти массу пули m; g=10 м·с⁻².

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем. В нижней точке ось Ox направим по полёту пули, Oy — вверх. На шар действуют сила тяжести и натяжение нити, на пулю — сила тяжести и при ударе сила со стороны шара. За время короткого удара нить остаётся вертикальной; внешние силы не дают горизонтального импульса. Поэтому:
mv₀=(M+m)u,
где u — скорость составного тела непосредственно после удара. При застревании пули механическая энергия не сохраняется.
После удара на тело массой M+m действуют тяжесть вниз и T вдоль нити к подвесу. Радиальную ось Or направим к подвесу. В верхней точке обе силы направлены к центру; второй закон Ньютона:
T+(M+m)g=(M+m)v²l.
Нить может тянуть, но не толкать: T≥0. Для минимальной скорости T=0 именно в верхней точке, откуда v²=gl.
При дальнейшем движении после удара механическая энергия сохраняется: натяжение перпендикулярно скорости и работы не совершает. Между нижней и верхней точками перепад высоты равен 2l:
(M+m)u²2=(M+m)v²2+(M+m)g·2l.
Сокращая массу и подставляя v²=gl, получаем u²=5gl; u=√5gl.
Условие достаточное: при угле θ от нижней вертикали энергия даёт v_θ²=u²−2gl+2gl cosθ, а радиальное уравнение — T=(M+m)(v_θ²·l⁻¹+g cosθ). При u²=5gl имеем T=3(M+m)g(1+cosθ)≥0 на всей окружности.
Из mv₀=(M+m)u получаем m(v₀−u)=Mu, откуда:
m=Muv₀−u.
Подстановка:
u²=5·10 м·с⁻²·0,50 м=25 м²·с⁻²; u=5 м·с⁻¹.
m=0,230 кг·5 м·с⁻¹120 м·с⁻¹−5 м·с⁻¹=0,010 кг=10 г.
Проверка: импульс пули 1,2 кг·м·с⁻¹ равен импульсу составного тела 0,240·5=1,2 кг·м·с⁻¹. Вверху v²=5 м²·с⁻², натяжение равно нулю, а оставшиеся 20 м²·с⁻² разности квадратов скоростей обеспечивают подъём на 1 м.

Ответ: 10 г.