Задание OGEPHYSD47082: Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Формула для закона сохранения механической энергии в отсутствие сил трения. Превращение механической энергии при наличии силы трения

Дано: v₀ = 20 м·с⁻¹, высота после отскока H = 3h. При ударе теряется 50% энергии, значит, сохраняется k = 0,50. Ищем h; g = 10 Н·кг⁻¹.

Рассмотрим движение в системе отсчёта Земли. Ось Oy направим вверх, нуль потенциальной энергии выберем на поверхности удара. При полёте на шарик действует только тяжесть mg вниз: ma_y = −mg. Поэтому до и после удара по отдельности механическая энергия сохраняется. Во время удара появляется реакция поверхности N вверх: ma_y = N − mg. В этот короткий промежуток часть механической энергии теряется на нагрев и деформации, поэтому закон её сохранения через сам удар применять нельзя.
Обозначим начальную высоту h, начальный модуль скорости вниз v₀, максимальную высоту после отскока H, сохраняющуюся долю энергии k. Непосредственно перед ударом потенциальная энергия нулевая, и кинетическая энергия равна всей начальной:
E_до = mv₀²2 + mgh.
Сразу после удара E_после = kE_до. В верхней точке последующего подъёма скорость нулевая, поэтому:
mgH = k(mv₀²2 + mgh).
Сокращая m, получаем основное уравнение:
gH = k(v₀²2 + gh).

Подставим H = 3h и k = 0,50:
3gh = 0,50(v₀²2 + gh).
Умножим на 2:
6gh = v₀²2 + gh.
Перенесём gh:
5gh = v₀²2.
Отсюда:
h = v₀²10g = (20 м·с⁻¹)²10 · 10 м·с⁻² = 4 м.

Проверка. Начальная энергия на килограмм равна 20²·2⁻¹ + 10 · 4 = 240 Дж·кг⁻¹. После удара остаётся 120 Дж·кг⁻¹, что соответствует высоте 12 м = 3 · 4 м. Ответ: 4 м.