Задание OGEPHYS07E597: Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел. Реактивное движение

Дано: m₁ = 100 г = 0,100 кг, m₂ = 200 г = 0,200 кг, v₁ = 4 м·с⁻¹, v₂ = 5 м·с⁻¹. Шарики движутся навстречу. Ищем конечную кинетическую энергию системы обоих шариков.

Выберем систему отсчёта Земли, ось Ox направим вдоль начальной скорости первого тела, Oy — вверх. В течение короткого удара внешним импульсом вдоль Ox пренебрегаем. Тяжесть каждого тела направлена вниз; при движении по горизонтальной опоре её нормальная реакция направлена вверх. Эти силы не дают проекций на Ox. Силы взаимодействия тел обозначим F₂₁ на первом и F₁₂ на втором: их проекции противоположны.
Второй закон Ньютона для каждого тела вдоль Ox:
m₁a₁ₓ = F₂₁ₓ;
m₂a₂ₓ = F₁₂ₓ.
По третьему закону Ньютона F₂₁ₓ + F₁₂ₓ = 0. Поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются и сохраняется суммарная проекция импульса системы:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)u_x.
После абсолютно неупругого удара тела движутся совместно, их конечная скорость одна. Кинетическая энергия при таком ударе обычно уменьшается.

Встречные скорости имеют проекции +4 и −5 м·с⁻¹. Из закона импульса:
u_x = m₁v₁ − m₂v₂m₁ + m₂.
Подставляем:
u_x = 0,100 кг · 4 м·с⁻¹ − 0,200 кг · 5 м·с⁻¹0,100 кг + 0,200 кг;
u_x = −0,600 кг·м·с⁻¹0,300 кг = −2 м·с⁻¹.
Модуль общей скорости u = 2 м·с⁻¹; минус означает движение в первоначальном направлении второго шарика.

Теперь вычислим энергию именно системы обоих шариков:
E = (m₁ + m₂)u²2.
Подстановка:
E = 0,3 кг · (2 м·с⁻¹)²2 = 0,6 Дж.
Знак проекции скорости не делает энергию отрицательной: в формулу входит квадрат скорости.

Проверка. Конечный суммарный импульс 0,300 кг · (−2 м·с⁻¹) = −0,600 кг·м·с⁻¹ равен начальному. Энергии шариков по отдельности равны 0,2 и 0,4 Дж, в сумме 0,6 Дж; при одинаковой скорости они относятся как массы 1 : 2. Начальная энергия 0,8 + 2,5 = 3,3 Дж больше конечной: разность 2,7 Дж перешла во внутреннюю энергию при неупругом ударе. Ответ для системы обоих шариков: 0,6 Дж.