Задание OGEPHYS292DE0: Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел. Реактивное движение

Массы шаров одинаковы: m₁ = m₂ = m = 4 кг. Первый шар движется с неизвестной скоростью v, второй покоится. После удара их общая скорость u. Нужно сравнить кинетическую энергию всей системы до и после взаимодействия.

Выберем систему отсчёта Земли, ось Ox направим вдоль начальной скорости первого тела, Oy — вверх. В течение короткого удара внешним импульсом вдоль Ox пренебрегаем. Тяжесть каждого тела направлена вниз; при движении по горизонтальной опоре её нормальная реакция направлена вверх. Эти силы не дают проекций на Ox. Силы взаимодействия тел обозначим F₂₁ на первом и F₁₂ на втором: их проекции противоположны.
Второй закон Ньютона для каждого тела вдоль Ox:
m₁a₁ₓ = F₂₁ₓ;
m₂a₂ₓ = F₁₂ₓ.
По третьему закону Ньютона F₂₁ₓ + F₁₂ₓ = 0. Поэтому изменения импульсов взаимно компенсируются и сохраняется суммарная проекция импульса системы:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)u_x.
После абсолютно неупругого удара тела движутся совместно, их конечная скорость одна. Кинетическая энергия при таком ударе обычно уменьшается.

Закон сохранения импульса принимает вид:
mv = 2mu.
Сокращая массу, получаем:
u = v2.
До удара двигался только первый шар:
E_до = mv²2.
После удара движется общая масса 2m:
E_после = 2mu²2 = mu².
Подставим выражение конечной скорости:
E_после = m · (v2)² = mv²4.
Теперь найдём отношение:
E_послеE_до = 12.
Значит, энергия уменьшилась в два раза. Энергия не исчезла: уменьшение механической энергии связано с переходом во внутреннюю энергию при деформации и нагревании шаров.

Проверка на допустимом примере. Если начальная скорость v = 2 м·с⁻¹, из закона импульса получается u = 1 м·с⁻¹. Тогда при m = 4 кг начальная энергия равна 8 Дж, конечная — 4 Дж. Их отношение 0,5, как и в общем выводе. Пример подтверждает результат, но для самого решения знать v не нужно. Ответ: кинетическая энергия уменьшилась в 2 раза.