Задание FFB268: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
12 = 2² · 3.
24 = 2³ · 3.
(24⁹)⁻¹ = 24⁻⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 9 + 22 − 27 = 4.
Для основания 3: 11 − 9 = 2.
После сокращения получаем 2⁴ · 3².
2⁴ · 3² = 144.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 380420285792256, знаменатель — 2641807540224. Их отношение: 3804202857922562641807540224 = 144.
Получено то же значение 144. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 144.