Задание FD43BD: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −16(x + 2)² − 5 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −2 − √5, x ≠ −2 + √5. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −16(x + 2)² − 5 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x + 2)² − 5 = x² + 4 · x − 1.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −16x² + 4 · x − 1; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² + 4 · x − 1: D = (4)² − 4 · (1) · (−1) = 20.
По формуле x = −(4) ± 2 · √52 · (1) получаем x = −2 − √5, x = −2 + √5.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −2 − √5, −2 + √5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −2 − √5): при x = −6 получаем f(x) = −1611, знак отрицателен.
(−2 − √5; −2 + √5): при x = −4 получаем f(x) = 16, знак положителен.
(−2 + √5; +∞): при x = 2 получаем f(x) = −1611, знак отрицателен.
x = −2 − √5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = −2 + √5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−2 − √5; −2 + √5).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−2 − √5; −2 + √5).