Задание 314727: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 2)² < √3 · (x − 2).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 2)² − (√3 · (x − 2)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 2) · (x − 2 − √3); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 2 − √3 = 0, откуда x = 2 + √3.
x − 2 = 0, откуда x = 2.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 2, 2 + √3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 2): при x = 1 получаем f(x) = 1 + √3, знак положителен.
(2; 2 + √3): при x = 3 получаем f(x) = 1 − √3, знак отрицателен.
(2 + √3; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 9 − 3 · √3, знак положителен.
x = 2 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 2 + √3 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (2; 2 + √3).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (2; 2 + √3).