Задание 517272: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −19(x + 5)² − 6 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −5 − √6, x ≠ −5 + √6. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −19(x + 5)² − 6 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x + 5)² − 6 = x² + 10 · x + 19.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −19x² + 10 · x + 19; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² + 10 · x + 19: D = (10)² − 4 · (1) · (19) = 24.
По формуле x = −(10) ± 2 · √62 · (1) получаем x = −5 − √6, x = −5 + √6.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5 − √6, −5 + √6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5 − √6): при x = −9 получаем f(x) = −1,9, знак отрицателен.
(−5 − √6; −5 + √6): при x = −7 получаем f(x) = 9,5, знак положителен.
(−5 + √6; +∞): при x = −1 получаем f(x) = −1,9, знак отрицателен.
x = −5 − √6 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = −5 + √6 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−5 − √6; −5 + √6).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−5 − √6; −5 + √6).