Задание FCD901: Квантовая физика

Модель: дискретные энергетические уровни атома водорода в лабораторной системе отсчёта. Энергия связанного состояния E_n = −13,6 эВn² отсчитывается от свободных покоящихся протона и электрона. При переходе с верхнего уровня на нижний излучается фотон положительной энергии ε = E_нач − E_кон = hν. Отдачей атома здесь пренебрегаем; классические проекции сил не определяют спектр переходов.
При расчёте используем h = 6,6·10⁻³⁴ Дж·с, c = 3·10⁸ м·с⁻¹, e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, mₑ = 9,1·10⁻³¹ кг; 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж.
1. Изначально протон покоится, а электрон имеет импульс p = 2·10⁻²⁴ кг·м·с⁻¹. Ось Ox направим по начальному импульсу электрона. Внешними силами пренебрегаем; взаимодействие протона и электрона — внутреннее. Кинетическая энергия образовавшегося атома по условию пренебрежимо мала, но это не означает строго нулевой импульс отдачи.
2. Начальная энергия относительно свободных покоящихся частиц равна K₀ = p²2mₑ. Конечная энергия — сумма энергии связанного состояния E₂ и энергии фотона hν. Закон сохранения энергии:
p²2mₑ = E₂ + hν,
ν = p²2mₑ − E₂h, E₂ = −13,6 эВ4 = −3,4 эВ.
3. Подстановка:
ν = (2·10⁻²⁴ кг·м·с⁻¹)²2·9,1·10⁻³¹ кг + 3,4·1,6·10⁻¹⁹ Дж6,6·10⁻³⁴ Дж·с ≈ 4,1542·10¹⁵ Гц.
4. Проверка. Начальная энергия около 13,74 эВ, энергия связи конечного состояния 3,4 эВ, поэтому фотон уносит примерно 17,14 эВ. Обратно E₂+hν≈−3,4+17,14=13,74 эВ. Нельзя использовать 13,6 эВ вместо 3,4 эВ: атом образуется на втором, а не на первом уровне. Скорость исходного электрона около 2,20·10⁶ м·с⁻¹ мала по сравнению с c.

Ответ: ≈ 4,15·10¹⁵ Гц.