Задание FA4684: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²−5x=y;
2x−5=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
2x² − 7x + 5 = 0.
D = (−7)² − 4 · (2) · (5) = 9.
√9 = 3. По формуле корней x = −(−7) ± 32 · (2).
Получаем x = 1, x = 52.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 1 из второго уравнения y = −3.
При x = 52 из второго уравнения y = 0.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (1; −3):
2(1)²−5(1) = −3, (−3) = −3;
2(1)−5 = −3, (−3) = −3.
Пара (52; 0):
2(52)²−5(52) = 0, (0) = 0;
2(52)−5 = 0, (0) = 0.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (1; −3); (52; 0).