Задание 4BBE8B: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
2x²−x=y;
2x−1=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
2x² − 3x + 1 = 0.
D = (−3)² − 4 · (2) · (1) = 1.
√1 = 1. По формуле корней x = −(−3) ± 12 · (2).
Получаем x = 12, x = 1.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 12 из второго уравнения y = 0.
При x = 1 из второго уравнения y = 1.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (12; 0):
2(12)²−(12) = 0, (0) = 0;
2(12)−1 = 0, (0) = 0.
Пара (1; 1):
2(1)²−(1) = 1, (1) = 1;
2(1)−1 = 1, (1) = 1.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (12; 0); (1; 1).