Задание FA3992: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 6. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁷)² = a¹⁴.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: −12 + 14 = 2.
После сокращения получаем a².
При подстановке: 6² = 36.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 78364164096, знаменатель — 2176782336. Их отношение: 783641640962176782336 = 36.
Получено то же значение 36. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 36.