Задание EGEINFE9DDFE: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 2, B — 3, C — 3, D — 2, E — 2, F — 3, G — 3, H — 2.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 2, 3 — 3, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 2, 8 — 2.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {4, 8}; B ∈ {1, 3, 6}; C ∈ {1, 3, 6}; D ∈ {2, 7}; E ∈ {2, 7}; F ∈ {5}; G ∈ {1, 3, 6}; H ∈ {4, 8}.
Уточнение 2: A ∈ {8}; B ∈ {3}; C ∈ {1, 6}; D ∈ {2, 7}; E ∈ {2, 7}; F ∈ {5}; G ∈ {1, 6}; H ∈ {4}.
Уточнение 3: A ∈ {8}; B ∈ {3}; C ∈ {1, 6}; D ∈ {2, 7}; E ∈ {2, 7}; F ∈ {5}; G ∈ {1, 6}; H ∈ {4}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=8, B=3, C=1, D=2, E=7, F=5, G=6, H=4: исключаем — на рисунке есть дорога C–D, а в клетке 1–2 пусто.
Подходит: A=8, B=3, C=6, D=2, E=7, F=5, G=1, H=4.
Подходит: A=8, B=3, C=1, D=7, E=2, F=5, G=6, H=4.
A=8, B=3, C=6, D=7, E=2, F=5, G=1, H=4: исключаем — на рисунке есть дорога C–D, а в клетке 6–7 пусто.
Для соответствия 1: B–A соответствует 3–8, длина 53; H–A соответствует 4–8, длина 21.
Сумма длин: 53 + 21 = 74.
Для соответствия 2: B–A соответствует 3–8, длина 53; H–A соответствует 4–8, длина 21.
Сумма длин: 53 + 21 = 74.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 74. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: AB → 8–3; AH → 8–4; HF → 4–5; FE → 5–7; EG → 7–1; GB → 1–3; BC → 3–6; CG → 6–1; CD → 6–2; DF → 2–5.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 74.