Задание EGEINFEB8AF5: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 2, B — 2, C — 3, D — 2, E — 3, F — 3, G — 2, H — 3.
В таблице степени равны: 1 — 2, 2 — 3, 3 — 3, 4 — 2, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 2, 8 — 2.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {7, 8}; B ∈ {7, 8}; C ∈ {2, 3, 6}; D ∈ {1, 4}; E ∈ {5}; F ∈ {2, 3, 6}; G ∈ {1, 4}; H ∈ {2, 3, 6}.
Уточнение 2: A ∈ {7}; B ∈ {8}; C ∈ {2, 3}; D ∈ {1, 4}; E ∈ {5}; F ∈ {2, 3}; G ∈ {1, 4}; H ∈ {6}.
Уточнение 3: A ∈ {7}; B ∈ {8}; C ∈ {2, 3}; D ∈ {1, 4}; E ∈ {5}; F ∈ {2, 3}; G ∈ {1, 4}; H ∈ {6}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
Подходит: A=7, B=8, C=2, D=1, E=5, F=3, G=4, H=6.
A=7, B=8, C=3, D=1, E=5, F=2, G=4, H=6: исключаем — на рисунке нет дороги C–D, а в клетке 3–1 отмечена дорога.
A=7, B=8, C=2, D=4, E=5, F=3, G=1, H=6: исключаем — на рисунке нет дороги C–D, а в клетке 2–4 отмечена дорога.
Подходит: A=7, B=8, C=3, D=4, E=5, F=2, G=1, H=6.
Для соответствия 1: F–C соответствует 3–2, длина 21; H–A соответствует 6–7, длина 39.
Сумма длин: 21 + 39 = 60.
Для соответствия 2: F–C соответствует 2–3, длина 21; H–A соответствует 6–7, длина 39.
Сумма длин: 21 + 39 = 60.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 60. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: HA → 6–7; AB → 7–8; BE → 8–5; ED → 5–1; DF → 1–3; FH → 3–6; HC → 6–2; FC → 3–2; CG → 2–4; GE → 4–5.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 60.