Задание EGEINFDB02AF: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 2, C — 3, D — 3, E — 3, F — 2, G — 2.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 3, 3 — 3, 4 — 2, 5 — 2, 6 — 2, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 2}; B ∈ {4, 5, 6}; C ∈ {3, 7}; D ∈ {3, 7}; E ∈ {1, 2}; F ∈ {4, 5, 6}; G ∈ {4, 5, 6}.
Уточнение 2: A ∈ {1, 2}; B ∈ {5}; C ∈ {3, 7}; D ∈ {3, 7}; E ∈ {1, 2}; F ∈ {4, 6}; G ∈ {4, 6}.
Уточнение 3: A ∈ {1, 2}; B ∈ {5}; C ∈ {3, 7}; D ∈ {3, 7}; E ∈ {1, 2}; F ∈ {4, 6}; G ∈ {4, 6}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 8. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=1, B=5, C=3, D=7, E=2, F=4, G=6: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 1–3 отмечена дорога.
Подходит: A=2, B=5, C=3, D=7, E=1, F=4, G=6.
A=1, B=5, C=7, D=3, E=2, F=4, G=6: исключаем — на рисунке есть дорога A–F, а в клетке 1–4 пусто.
A=2, B=5, C=7, D=3, E=1, F=4, G=6: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 2–7 отмечена дорога.
A=1, B=5, C=3, D=7, E=2, F=6, G=4: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 1–3 отмечена дорога.
A=2, B=5, C=3, D=7, E=1, F=6, G=4: исключаем — на рисунке есть дорога A–F, а в клетке 2–6 пусто.
Подходит: A=1, B=5, C=7, D=3, E=2, F=6, G=4.
A=2, B=5, C=7, D=3, E=1, F=6, G=4: исключаем — на рисунке нет дороги A–C, а в клетке 2–7 отмечена дорога.
Для соответствия 1: A — номер 2, E — номер 1.
Для соответствия 2: A — номер 1, E — номер 2.
По условию номера записываем в порядке возрастания, независимо от порядка букв. После упорядочения в каждом допустимом случае получается 12.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: AF → 2–4; FD → 4–7; DB → 7–5; BC → 5–3; CE → 3–1; EA → 1–2; EG → 1–6; GC → 6–3; AD → 2–7.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 12.