Задание EGEINFB0FC62: Черепаха, Чертёжник и Робот

Решение.
Ось x направим вправо, ось y — вверх. Черепаха начинает в точке (0; 0), смотрит вверх и рисует. Команда «Назад» меняет направление перемещения, но не поворачивает голову.
Выполним команды по порядку. Поворот меняет только направление головы. Поднятый хвост запрещает рисование, но положение и направление продолжают изменяться.
Вершины фигуры 1 при первом полном обходе: (0; 0) → (11√22; −11√22) → (0; −11√2) → (−11√22; −11√22) → (0; 0).
Дальнейшие повторения идут по тем же сторонам. Поэтому считаем различные внутренние точки единственной замкнутой фигуры. Точки на её границе по условию исключены.
Обозначим a = 11√22. Два поворота по 45° в каждом повторении дают поворот на 90° между соседними сторонами. Получается квадрат с вершинами (0; 0), (a; −a), (0; −2a), (−a; −a).
Горизонтальная полуширина фигуры на уровне y равна меньшему из чисел −y и y + 2a. Внутренние точки удовлетворяют |x| < min(−y, y + 2a).
Имеем 7 < a < 8 и 15 < 2a < 16. На уровнях y = −1, …, −7 полуширина целая и равна 1, …, 7; строгие границы дают 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 точек.
Сумма верхних семи рядов: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49.
На уровнях y = −8, …, −15 полуширина иррациональна. Количества точек: 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1; их сумма равна 64.
Всего 49 + 64 = 113.
Проверка: все возможные целые уровни от −15 до −1 разобраны. Верхняя вершина на y = 0 исключена, а нижняя y = −11√2 не имеет целой ординаты. При целой полуширине крайние точки исключены, при иррациональной их не существует.
Ответ: 113.