Задание EGEINF7314D0: Графы, таблицы и маршруты

Решение.
Рисунок и таблица описывают одни и те же дороги. Буквенные обозначения нельзя сопоставлять номерам по положению на рисунке: нужно сохранить связи между пунктами. Пустая клетка означает отсутствие прямой дороги.
Степень вершины — число выходящих из неё дорог. На рисунке: A — 3, B — 3, C — 3, D — 3, E — 3, F — 3, G — 2.
В таблице степени равны: 1 — 3, 2 — 3, 3 — 2, 4 — 3, 5 — 3, 6 — 3, 7 — 3.
Сопоставлять можно только вершины одинаковой степени. Затем сравниваем, с какими группами вершин связаны их соседи; если наборы различаются, соответствие исключаем. Повторяем уточнение, пока группы перестанут делиться.
Уточнение 1: A ∈ {1, 2, 6, 7}; B ∈ {4, 5}; C ∈ {1, 2, 6, 7}; D ∈ {1, 2, 6, 7}; E ∈ {4, 5}; F ∈ {1, 2, 6, 7}; G ∈ {3}.
Уточнение 2: A ∈ {2, 6}; B ∈ {4, 5}; C ∈ {1}; D ∈ {7}; E ∈ {4, 5}; F ∈ {2, 6}; G ∈ {3}.
Уточнение 3: A ∈ {2, 6}; B ∈ {4, 5}; C ∈ {1}; D ∈ {7}; E ∈ {4, 5}; F ∈ {2, 6}; G ∈ {3}.
Внутри оставшихся групп перебираем взаимно однозначные соответствия. Всего вариантов: 4. Для каждого проверяем все пары пунктов: и наличие дороги, и её отсутствие должны совпадать.
A=2, B=4, C=1, D=7, E=5, F=6, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 2–4 пусто.
Подходит: A=6, B=4, C=1, D=7, E=5, F=2, G=3.
Подходит: A=2, B=5, C=1, D=7, E=4, F=6, G=3.
A=6, B=5, C=1, D=7, E=4, F=2, G=3: исключаем — на рисунке есть дорога A–B, а в клетке 6–5 пусто.
Для соответствия 1: F–A соответствует 2–6, длина 2; D–C соответствует 7–1, длина 8.
Сумма длин: 2 + 8 = 10.
Для соответствия 2: F–A соответствует 6–2, длина 2; D–C соответствует 7–1, длина 8.
Сумма длин: 2 + 8 = 10.
Во всех допустимых соответствиях искомая величина одинакова и равна 10. Наличие нескольких соответствий, если они есть, поэтому не создаёт неоднозначности ответа.
Проверка первого допустимого соответствия по всем дорогам рисунка: EF → 5–2; FA → 2–6; AB → 6–4; BG → 4–3; GE → 3–5; EC → 5–1; CD → 1–7; DA → 7–6; DF → 7–2; BC → 4–1.
Все перечисленные клетки непусты, а число дорог в таблице равно числу рёбер рисунка. Значит, лишних связей не появилось. Остальные варианты либо прошли ту же проверку, либо исключены указанным противоречием.
Ответ: 10.