Задание EGEINF0FEA2F: Системы счисления и арифметика

Решение.
1. Заменим вычитание дополнением цифр.
N = 3¹⁰⁰ – x.
Допустимые значения: 1 ≤ x ≤ 2030.
Положим y = x − 1. Тогда 0 ≤ y ≤ 2029.
3¹⁰⁰ − x = (3¹⁰⁰ − 1) − y.
Число 3¹⁰⁰ − 1 состоит из 100 цифр 2. Поэтому вычитание y заменяет каждую цифру d на 2 − d. Если запись y короче, дополняем её слева нулями: они превращаются в 2, а не в нули.
Таким образом, в младшем блоке нули возникают ровно на местах цифры 2 в записи y.
Старшая часть после заимствования единицы из младшей степени:
Нулей в неизменной старшей части: 0.
Общее число нулей: z(x) = 0 + количество цифр 2 в записи x − 1.
2. Проверим весь разрешённый диапазон.
Для каждого y от 0 до верхней границы последовательно делим y на основание с остатком. Каждый остаток — очередная цифра; прибавляем единицу к счётчику только при остатке, равном основанию минус один. К этому счётчику добавляем нули старшей части. Для каждого результата сохраняем число подходящих x и наибольшее из них. Получаем:
Нулей 0: значений x — 128; наибольшее x = 1094.
Нулей 1: значений x — 448; наибольшее x = 1823.
Нулей 2: значений x — 660; наибольшее x = 2030.
Нулей 3: значений x — 513; наибольшее x = 2028.
Нулей 4: значений x — 224; наибольшее x = 2021.
Нулей 5: значений x — 52; наибольшее x = 2024.
Нулей 6: значений x — 5; наибольшее x = 2025.
Проверка полноты: 128 + 448 + 660 + 513 + 224 + 52 + 5 = 2030; проверены все допустимые x.
Требуемое число нулей: 1.
Среди 448 подходящих значений наибольшее x = 1823.
3. Проверка выбранного значения.
y = 1823 − 1 = 1822.
Цифры y в основании 3, от старшей к младшей: 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
Цифра 2 встречается 1 раз; нулей в N получается 0 + 1 = 1.
Наибольшие значения для каждого результата в полной таблице подтверждают, что большего подходящего x в разрешённом диапазоне нет.

Ответ: 1823.