Задание EDFB3F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x−1)⁴−2(x−1)²−3=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x − 1; введём новую переменную t = (x − 1)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x − 1)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − 2t − 3 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−3) = 16.
√16 = 4. По формуле корней t = −(−2) ± 42 · (1).
Получаем t = −1, t = 3.

3. Значение t = −1 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 3, то есть (x − 1)² = 3. Следовательно, x − 1 = −√3 или x − 1 = √3.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = 1 − √3 или x = 1 + √3.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x − 1)² = 3, а (x − 1)⁴ = 9. Левая часть исходного уравнения равна 9 + (−2) · 3 + (−3) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: 1 − √3; 1 + √3.