Задание EC6ABC: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
4x²−3x=y;
8x−6=y.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. В обоих уравнениях правые части равны y. Поэтому приравняем левые части, а второе уравнение сохраним для нахождения y. После переноса всех слагаемых влево и приведения подобных получим:
4x² − 11x + 6 = 0.
D = (−11)² − 4 · (4) · (6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(−11) ± 52 · (4).
Получаем x = 34, x = 2.

3. Для каждого найденного x вычислим y по второму исходному уравнению:
При x = 34 из второго уравнения y = 0.
При x = 2 из второго уравнения y = 10.
Каждому значению x соответствует ровно одно значение y.

4. Проверка пар в обоих исходных уравнениях:
Пара (34; 0):
4(34)²−3(34) = 0, (0) = 0;
8(34)−6 = 0, (0) = 0.
Пара (2; 10):
4(2)²−3(2) = 10, (10) = 10;
8(2)−6 = 10, (10) = 10.
Оба равенства выполнены для каждой пары. Полученное квадратное уравнение решено полностью, поэтому других решений системы нет.

Ответ: (34; 0); (2; 10).