Задание A69BB1: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−3x+√6−x=√6−x+40. Квадратные корни определены, если 6 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 6.

2. На этой области одинаковое слагаемое √6 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 3x − 40 = 0. Область x ≤ 6 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 3x − 40 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (−40) = 169.
√169 = 13. По формуле корней x = −(−3) ± 132 · (1).
Получаем x = −5, x = 8.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −5: 6 − (−5) = 11; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 8: 6 − (8) = −2; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −5. Подкоренное выражение равно 11, а часть без корня равна (−5)² + (−3) · (−5) = 40. Поэтому обе части исходного уравнения равны 40 + √11. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −5.