Задание EC2E37: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = x² + 2 при x ≥ −2. Выделяем квадрат: y = (x)² + 2. Вершина полной параболы: (0; 2), ветви направлены вверх. Для уровня y = m кандидаты x = ±√m − 2; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (−2; 6) включена.

Ветвь 2: y = −6x при x < −2. Это часть гиперболы. Для m ≠ 0 уравнение даёт x = −6m; при m = 0 корней нет. Проверяем ограничение на x. Граничные точки: (−2; 3) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 2, 3, 6. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

m = 0: по ветвям 0 + 0 = 0 точек.

m ∈ (0; 2): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

m = 2: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (2; 3): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = 3: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (3; 6): по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m = 6: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (6; +∞): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ (0; 2) ∪ (6; +∞).