Задание E34C3B: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=9x+19x²+x.

Область определения: x ≠ −19, x ≠ 0. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Знаменатель равен произведению x на числитель. После сокращения общего линейного множителя получаем y = 1x, сохраняя оба исключения. Это гипербола с выколотой точкой (−19; −9).

2. Пересечения с прямой y = kx определяются уравнением 1x = kx, откуда kx² = 1. При k ≤ 0 действительных корней нет. При k > 0 корни x = ±1√k различны и ненулевые.

3. Чтобы осталось ровно одно пересечение, один корень должен совпасть с исключённым h = −19. Тогда kh² = 1, значит k = 1h² = 81. Второй корень x = −h = 19 остаётся допустимым.

Проверка: при k = 81 обе исходные формулы в допустимой точке x = 19 дают y = 9. При любом другом положительном k сохраняются два пересечения.

Ответ: k ∈ {81}.