Задание E88E19: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = −x² + 10x − 21 при x ≥ 3. Выделяем квадрат: y = −(x − 5)² + 4. Вершина полной параболы: (5; 4), ветви направлены вниз. Для уровня y = m кандидаты x = 5 ± √−m + 4; учитываем их только при неотрицательном подкоренном выражении и выполнении ограничения на x. При нулевом корне знак ± даёт одну точку. Граничные точки: (3; 0) включена.

Ветвь 2: y = −x + 5 при x < 3. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −m + 5; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 2) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 0, 2, 4. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 0): по ветвям 1 + 0 = 1 точка.

m = 0: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (0; 2): по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m = 2: по ветвям 2 + 0 = 2 точки.

m ∈ (2; 4): по ветвям 2 + 1 = 3 точки.

m = 4: по ветвям 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (4; +∞): по ветвям 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ [0; 2] ∪ {4}.