Задание E23414: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 2x − 2 при x < 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 12m + 1; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 4) выколота.

Ветвь 2: y = −3x + 13 при 3 ≤ x ≤ 4. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −13m + 133; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 4) включена, (4; 1) включена.

Ветвь 3: y = 32x − 7 при x > 4. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 23m + 143; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (4; −1) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это −1, 1, 4. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; −1): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = −1: по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m ∈ (−1; 1): по ветвям 1 + 0 + 1 = 2 точки.

m = 1: по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m ∈ (1; 4): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = 4: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (4; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ (−1; 1) ∪ {4}.