Задание E8211D: Оптика

1. Система отсчёта связана с неподвижной тонкой линзой; ось x направлена по главной оптической оси вправо, ось y — вверх. Начало координат O в центре линзы. Используем модель геометрической оптики и параксиальную формулу тонкой линзы. Механического движения нет, уравнения сил не требуются. Для точки предмета d>0 — расстояние до линзы, y — высота; для действительного изображения f>0. Тогда
1F = 1d + 1f,
f = Fdd − F,
y′ = −fd · y = −Fd − F · y.
Знак минус означает переворот относительно оси.
2. Обозначим вершины по контуру: A — дальняя верхняя, B — ближняя верхняя, C — ближняя нижняя, D — дальняя нижняя. Ось проходит через середины вертикальных сторон. Поперечная сторона a=20 см; продольная сторона 20 см. Поэтому расстояние до ближней стороны d₂=d₁−20 см. Оптическая сила даёт F=1÷D.
Подстановка:
F = 12 м = 50 см, d₁=90 см, d₂=70 см.
3. Изображение каждой вертикальной стороны вертикально, но увеличения различны. Получается трапеция, а не прямоугольник. Расстояния до её оснований:
f₁ = F · d₁d₁ − F, f₂ = F · d₂d₂ − F.
Подстановка:
f₁ = 50·9090−50 см = 112,5 см,
f₂ = 50·7070−50 см = 175 см.
Длины оснований и расстояние между ними:
h₁ = f₁d₁ · a, h₂ = f₂d₂ · a, t=f₂−f₁.
Подстановка:
h₁=25 см, h₂=50 см, t=62,5 см.
4. Площадь трапеции:
S = h₁ + h₂2 · t.
Подстановка:
S = 25 + 502 · 62,5 см² = 2343,75 см².
Построение. Для внеосевой вершины проводим луч параллельно главной оси: после линзы он идёт через задний фокус. Второй луч через O не отклоняется. Их пересечение даёт изображение вершины. Для осевой вершины один луч идёт по оси, второй наклонный луч после линзы пересекает его в рассчитанной точке f; его направление подчиняется той же формуле линзы. Соединяем изображения соседних вершин. Прямые стороны переходят в прямые: все их точки лежат в одной плоскости лучей, а отображение координат выше сохраняет прямолинейность. На рисунке отдельно увеличена получившаяся фигура; масштаб по обеим осям этой детали одинаковый.
Проверка. Обе стороны находятся дальше переднего фокуса, поэтому изображения действительные и перевёрнутые. Для каждой стороны 1÷d+1÷f=1÷50; ближняя к фокусу сторона имеет большее увеличение и более далёкое изображение. Верхние вершины переходят в нижние, нижние — в верхние. Симметрия относительно оси сохраняется, но продольный и поперечный размеры меняются неодинаково; умножать исходную площадь на квадрат одного увеличения нельзя.

Ответ: S = 2343,75 см².