Задание E5E7B8: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
3x²+y=4;
2x²−y=1.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Сложим уравнения системы: слагаемые y и −y взаимно уничтожатся. Получим 5x² = 5, то есть x² = 55 = 1.
Следовательно, x = −1 или x = 1. Учитываем оба знака.

3. Подставим каждое значение x в первое исходное уравнение. Для обоих x² = 1.
При x = −1 из первого уравнения y = 1.
При x = 1 из первого уравнения y = 1.
Для каждого найденного x первое уравнение определяет y однозначно. Сумма уравнений вместе с первым равенством равносильна исходной системе.

4. Проверка каждой пары сразу в двух исходных уравнениях:
Пара (−1; 1):
3(−1)²+(1) = 4, 4 = 4;
2(−1)²−(1) = 1, 1 = 1.
Пара (1; 1):
3(1)²+(1) = 4, 4 = 4;
2(1)²−(1) = 1, 1 = 1.
В каждой паре выполнены оба равенства. Других значений x и соответствующих им y нет.

Ответ: (−1; 1); (1; 1).