Задание DF7E4D: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²+1)(x−2)2−x.

Область определения: x ≠ 2. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Множители (x − 2) и (2 − x) противоположны, поэтому после сокращения y = −x² − 1, x ≠ 2. Это парабола с вершиной (0; −1), ветвями вниз и выколотой точкой (2; −5).

2. Точки пересечения с y = kx удовлетворяют уравнению −x² − 1 = kx, то есть x² + kx + 1 = 0. Дискриминант D = k² − 4.

При D < 0 пересечений нет. При D = 0 получаем k = ±2 и единственный корень x = −k2. Для k = −2 корень равен 1, для k = 2 — −1. Оба корня отличаются от запрещённого 2, поэтому оба значения k подходят.

При D > 0 есть два различных корня. Ровно одно пересечение останется лишь тогда, когда один корень равен исключённому h = 2. Подставляем его: h² + kh + 1 = 0, откуда k = −h² + 1h = −52. Второй корень по произведению корней равен 12 и допустим.

Проверка: для k = −52 дискриминант равен 94 > 0; корни 2 и 12 различны. Первый удалён из графика, второй остаётся. Других способов получить ровно одну точку нет.

Ответ: k ∈ {−52; −2; 2}.