Задание 2A2D4E: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(0,5x²−0,5x) · |x|x−1.

Область определения: x ≠ 1. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 12x(x − 1). После сокращения множителя (x − 1) получаем y = 12x|x| при x ≠ 1.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −12x²; при x ≥ 0 получаем y = 12x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = 1 соответствует значение y = 12 · (1) · |1| = 12. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = 12. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = 1, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {12}.