Задание DB24B5: Оптика

1. Система отсчёта связана с неподвижной тонкой линзой; ось x направлена по главной оптической оси вправо, ось y — вверх. Начало координат O в центре линзы. Используем модель геометрической оптики и параксиальную формулу тонкой линзы. Механического движения нет, уравнения сил не требуются. Для точки предмета d>0 — расстояние до линзы, y — высота; для действительного изображения f>0. Тогда
1F = 1d + 1f,
f = Fdd − F,
y′ = −fd · y = −Fd − F · y.
Знак минус означает переворот относительно оси.
2. Подстановка оптической силы D=2,5 дптр:
F = 1D = 12,5 м = 40 см.
Точка C находится на расстоянии 2F=80 см. Вершина C расположена ближе к линзе, чем A. Так как AC=BC=4 см, по исходной геометрии:
d_A = 84 см, d_C = d_B = 80 см; y_A=y_C=0, y_B=4 см.
3. Применим формулу линзы отдельно к двум расстояниям, не приписывая всей фигуре одно увеличение:
f_A = F · d_Ad_A − F, f_C = f_B = F · d_Cd_C − F.
Подстановка:
f_A = 40·8484 − 40 см = 84011 см,
f_C = 40·8080 − 40 см = 80 см.
Обе осевые вершины остаются на оси, а B′ лежит ниже неё. Поэтому изображение — прямоугольный треугольник с катетами
u = |f_A − f_C|,
v = F · BCd_C − F.
Подстановка:
u = 4011 см, v = 40·480 − 40 см = 4 см.
4. Площадь:
S = uv2.
Подстановка:
S = 4011 · 42 см² = 8011 см² ≈ 7,27 см².
Построение. Для внеосевой вершины проводим луч параллельно главной оси: после линзы он идёт через задний фокус. Второй луч через O не отклоняется. Их пересечение даёт изображение вершины. Для осевой вершины один луч идёт по оси, второй наклонный луч после линзы пересекает его в рассчитанной точке f; его направление подчиняется той же формуле линзы. Соединяем изображения соседних вершин. Прямые стороны переходят в прямые: все их точки лежат в одной плоскости лучей, а отображение координат выше сохраняет прямолинейность. На рисунке отдельно увеличена получившаяся фигура; масштаб по обеим осям этой детали одинаковый.
Проверка. Для A и C подстановка найденных f в равенство 1÷d+1÷f=1÷40 возвращает фокусное расстояние 40 см. Все d>F, поэтому оба изображения действительные. Высота B′ отрицательна, а её модуль равен v. Катеты и площадь вычислены из точных дробей: раннее округление длины катета до десятых заметно искажает площадь.

Ответ: S = 8011 см² ≈ 7,27 см².