Задание 4518BA: Оптика

1. Система отсчёта связана с неподвижной водой; вертикальную ось направим от лампы к центру плота. Рассмотрим сечение через лампу и диаметр плота. Вода имеет показатель n=4÷3, воздух — 1. Плот непрозрачен; дифракцией и толщиной плота пренебрегаем. Задача оптическая, механическое равновесие плота вычислять не требуется.
2. Луч из воды способен выйти в воздух, если угол падения θ к нормали не превышает критического. Закон преломления на границе:
n sin θ = sin β.
При предельном преломлении β=90°, поэтому
sin θ_кр = 1n,
tg θ_кр = 1√n² − 1.
Лучи с большими углами испытывают полное внутреннее отражение и без плота не покидают воду.
3. Все точки выхода света образуют на поверхности круг радиуса r=H tg θ_кр, центр которого прямо над лампой. Чтобы свет не вышел, плот должен закрыть весь этот круг. При минимальном радиусе R=r:
R = H√n² − 1,
H = R√n² − 1.
Подстановка:
H = 2,4 м·√(43)² − 1 = 2,4 м·√73 = 4√75 м ≈ 2,12 м.
4. Построение показывает два предельных луча к краям плота и луч, попадающий дальше края: последний полностью отражается. Лучи внутри предельного конуса перекрываются плотом. Граничный луч в идеальной модели распространялся бы вдоль поверхности; положение границы определяет минимальный радиус.
Проверка. sin θ_кр=3÷4, cos θ_кр=√7÷4, tg θ_кр=3÷√7. При найденной глубине H tg θ_кр=(4√7÷5)(3÷√7)=12÷5=2,4 м. Чем глубже лампа при том же n, тем больший плот нужен.

Ответ: H = 4√75 м ≈ 2,12 м.