Задание DA9FF9: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 4)² < √6 · (x − 4).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 4)² − (√6 · (x − 4)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4) · (x − 4 − √6); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 4 − √6 = 0, откуда x = 4 + √6.
x − 4 = 0, откуда x = 4.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 4, 4 + √6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 4): при x = 3 получаем f(x) = 1 + √6, знак положителен.
(4; 4 + √6): при x = 5 получаем f(x) = 1 − √6, знак отрицателен.
(4 + √6; +∞): при x = 8 получаем f(x) = 16 − 4 · √6, знак положителен.
x = 4 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 4 + √6 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (4; 4 + √6).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (4; 4 + √6).