Задание D2F0FF: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 7)² < √11 · (x − 7).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 7)² − (√11 · (x − 7)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 7) · (x − 7 − √11); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 7 − √11 = 0, откуда x = 7 + √11.
x − 7 = 0, откуда x = 7.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 7, 7 + √11.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 7): при x = 6 получаем f(x) = 1 + √11, знак положителен.
(7; 7 + √11): при x = 8 получаем f(x) = 1 − √11, знак отрицателен.
(7 + √11; +∞): при x = 12 получаем f(x) = 25 − 5 · √11, знак положителен.
x = 7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 7 + √11 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (7; 7 + √11).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (7; 7 + √11).