Задание 3F88F1: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −13(x − 4)² − 6 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 4 − √6, x ≠ 4 + √6. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −13(x − 4)² − 6 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x − 4)² − 6 = x² − 8 · x + 10.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −13x² − 8 · x + 10; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² − 8 · x + 10: D = (−8)² − 4 · (1) · (10) = 24.
По формуле x = −(−8) ± 2 · √62 · (1) получаем x = 4 − √6, x = 4 + √6.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 4 − √6, 4 + √6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 4 − √6): при x = 0 получаем f(x) = −1,3, знак отрицателен.
(4 − √6; 4 + √6): при x = 2 получаем f(x) = 6,5, знак положителен.
(4 + √6; +∞): при x = 8 получаем f(x) = −1,3, знак отрицателен.
x = 4 − √6 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 4 + √6 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (4 − √6; 4 + √6).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (4 − √6; 4 + √6).