Задание DA6303: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
4 = 2².
(4⁻¹⁰)⁻¹ = 4¹⁰.
(4⁹)⁻¹ = 4⁻⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 20 − 18 = 2.
После сокращения получаем 2².
2² = 4.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 1048576, знаменатель — 262144. Их отношение: 1048576262144 = 4.
Получено то же значение 4. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 4.