Задание 5EC609: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a¹⁹)⁻¹ = a⁻¹⁹.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: 10 + 12 − 19 = 3.
После сокращения получаем a³.
При подстановке: 2³ = 8.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 4194304, знаменатель — 524288. Их отношение: 4194304524288 = 8.
Получено то же значение 8. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 8.