Задание DA1518: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x и (x)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 0.

2. Введём t = 1x. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x)² = t². Уравнение принимает вид:
t² + 3t − 10 = 0.
D = (3)² − 4 · (1) · (−10) = 49.
√49 = 7. По формуле корней t = −(3) ± 72 · (1).
Получаем t = −5, t = 2.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x = 1t:
t = −5: x = 1−5 = −15, поэтому x = 0 + (−15) = −15.
t = 2: x = 12 = 12, поэтому x = 0 + (12) = 12.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = −15: x = −15 не равно нулю; 1(−15)² + (3) · 1−15 + (−10) = 25 + (−15) + (−10) = 0.
x = 12: x = 12 не равно нулю; 1(12)² + (3) · 112 + (−10) = 4 + (6) + (−10) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 0, поэтому список корней полный.

Ответ: −15; 12.