Задание C63018: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−2)(x²+2x+1)=4(x+1) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 2x + 1 = (x + 1)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 1) · ((x−2) · (x + 1) − 4) = 0.
На x + 1 не делим: иначе можно потерять корень x = −1.

3. Первый множитель даёт x = −1. Второй даёт уравнение (x−2) · (x + 1) − 4 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² − x − 6 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней x = −(−1) ± 52 · (1).
Получаем x = −2, x = 3.

4. Объединим полученные значения: −2, −1, 3. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −2: слева ((−2)−2)((−2)²+2(−2)+1) = −4; справа 4((−2)+1) = −4.
x = −1: слева ((−1)−2)((−1)²+2(−1)+1) = 0; справа 4((−1)+1) = 0.
x = 3: слева ((3)−2)((3)²+2(3)+1) = 16; справа 4((3)+1) = 16.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −2; −1; 3.