Задание D842F6: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x²x − 4 ≤ x.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 4. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x²x − 4 − (x) ≤ 0.
Приведём к общему знаменателю, сохраняя исходные ограничения:
(x²) · (1) − (x) · (x − 4)(x − 4) · (1) ≤ 0.
После раскрытия скобок и приведения подобных:
4 · xx − 4 ≤ 0.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = 4 · xx − 4; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 0,8, знак положителен.
(0; 4): при x = 1 получаем f(x) = −43, знак отрицателен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 20, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [0; 4).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [0; 4).