Задание D323D4: Окружность и круг

1. Пусть O — пересечение диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Кроме того, диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому O является центром вписанной окружности.

2. OC = AC2 = 3. В прямоугольном треугольнике BOC имеем tg∠BCA = OBOC. Следовательно, OB = 3 · 43 = 4.

3. Сторона BC = √OC² + OB² = √9 + 16 = 5. Площадь ромба S = AC · BD2 = 2 · OC · OB = 24.

4. Соединяя центр с вершинами, получаем четыре треугольника общей высоты r. Поэтому S = pr, где p — полупериметр ромба, равный 2BC.

5. r = S2BC = 2410 = 2,4.

Проверка: четыре треугольника площадью 5 · 2,42 каждый вместе дают площадь ромба 24.

Ответ: 2,4.